Cosa si nasconde nella tua decima X? Questa è la soluzione alla sfida matematica della Lotteria di Natale | Lotteria di Natale

Ecco una soluzione alla sfida matematica che EL PAÍS ha proposto anche quest’anno ai lettori in occasione dell’estrazione della Lotteria di Natale del 22 dicembre e presentata, come nelle edizioni precedenti, da Adolfo Quirós Gracián, professore dell’Università Autonoma di Madrid e direttore di La Gaceta della Royal Spanish Mathematical Society. Se vuoi fare la sfida per provare a risolvere ciò che X nasconde il decimo prima di avere gli indizi per risolverlo, non continuare a leggere e clicca qui.

Ricordiamo brevemente la sfida. Acquistiamo due numeri della Lotteria di Natale con la proprietà che, tra i due, compaiano tutte le cifre da 0 a 9, necessariamente una volta ciascuna e, in più, la somma dei due numeri diventa nuovamente un numero del lotto, cioè ha 5 figure. Osserviamo che in questa somma compaiono le cifre 1, 3, 5 e 7, in qualche ordine e in qualche posizione. Chiamando la quinta cifra della somma X, la sfida era decidere quali valori deve assumere esattamente la cifra tra 0 e 9?; Alcune cifre possono apparire come X e altre no? Potrebbe essere che non appaia alcuna X perché in realtà non esistono due numeri che soddisfano tutte le condizioni che abbiamo dato? È stato aggiunto che una soluzione sarebbe utile se fornisse un’argomentazione che spieghi perché compaiono proprio quelle X.

Per risolvere la sfida, iniziamo verificando che esistano coppie di numeri della lotteria che soddisfano le nostre condizioni: 30896+21475=52371. In questo caso X=2.

Un altro esempio: 29870+45361=75231. Ancora una volta X=2. Potrebbe essere una coincidenza? Vediamo che non è così: X=2 è l’unica possibilità. Se forniamo un’argomentazione che dimostri che è così, avremo risolto la sfida con successo.

La chiave della nostra soluzione è osservare che 10=9×1+1, 100=9×11+1, 1000=9×111+1 e 10000=9×1111+1.

Quindi, se il nostro primo numero, chiamiamolo M, è abcde, utilizzando il significato posizionale delle cifre che abbiamo:

M=ax 10000 + bx 1000 + cx 100 + dx 10 + e=multiplo di 9+a+b+c+d+e.

Allo stesso modo, se il secondo numero, N, è ABCDE, avremo:

N=multiplo di 9+A+B+C+D+E.

La somma S dei due numeri soddisferà quindi:

S=M+N= multiplo di 9+a+b+c+d+e+A+B+C+D+E.

Dato che tra i due numeri compaiono le dieci cifre da 0 a 9, riordinando avremo (ricordiamo che l’ordine degli addendi non altera la somma)

a+b+c+d+e+A+B+C+D+E=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

Pertanto la somma S=M+N= multiplo di 9+45. È un multiplo di 9.

D’altra parte, la somma ha le cifre 1, 3, 5, 7 e X, quindi lo stesso ragionamento (compreso, se necessario, un riordinamento) ci dice che:

S=multiplo di 9+1+3+5+7+X=multiplo di 9+16+X.

Sappiamo che deve essere un multiplo di 9, il che è possibile solo se la cifra sconosciuta, X, è 2, come volevamo vedere.

Chi ha un background matematico avrà sicuramente osservato che il discorso può essere abbreviato utilizzando la notazione di congruenza (modulo 9 nel nostro caso), menzionata in alcune soluzioni ricevute.

Matemagia e dimostrazione del nove

Queste “perle con resti” vengono spesso utilizzate nella cosiddetta Matemagia, e in effetti questa sfida ha origine in un trucco che Fernando Blasco, attuale presidente della Commissione Disseminazione RSME, mi ha insegnato qualche anno fa. La stessa idea di sommare i numeri è alla base del test del nove, che sembra aver ispirato alcune delle soluzioni. Ma un buon numero di quelli che ci leggono hanno fatto un ragionamento che mi è piaciuto molto, perché dimostra (come se fosse necessario!) che si può pensare matematicamente senza conoscere il gergo e con tecniche basilari. Nelle parole di Mercedes A.:

«Come quando si sommano i numeri, ogni volta che c’è un “portato via” convertiamo 10 unità di un ordine in 1 unità di ordine superiore (ad esempio 10 unità in una decina), quindi ogni volta che c’è un “portato via”, nella somma delle cifre del risultato si perdono 9 (=10-1) unità rispetto alla somma delle cifre degli addendi.»

Tenendo presente questo, vediamo nel caso di sfida che, dalla somma 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 delle cifre dei numeri originali, la somma di Le cifre del “numero somma” scenderà a 36 se ce n’è uno portato, a 27 se sono due, a 18 se sono tre ed infine a 9 se ne sono stati portati quattro. Poiché 1+3+5+7=16, l’unica possibilità è completarlo fino a 18, e quindi X=2.

Ciò ha una conseguenza che confesso di non aver notato: quando cerchiamo esempi che dimostrino che la situazione prospettata può verificarsi (su questo torneremo), ci troveremo necessariamente di fronte a tre cose. Una constatazione semplice, ma sicuramente curiosa.

Nel periodo stabilito hanno risposto alla sfida circa 180 persone provenienti da diversi paesi (almeno Germania, Slovenia, Italia, Francia e Regno Unito, oltre alla Spagna). Non è facile fornire il numero esatto perché alcune soluzioni hanno più autori o sono arrivate nello stesso messaggio. È il caso di diversi inviati dai centri educativi (i giovani che abbiamo incoraggiato a partecipare!), tra i quali vogliamo evidenziare quest’anno quello inviato da Clara, Erine, Jed, Nael e Valentine, studenti dell’Istituto Clemenceau Institute di Reims (Francia), che hanno analizzato la sfida nella loro lezione di spagnolo! Sono molto grato alla sua insegnante, la signora Louyer, per aver utilizzato la sfida come strumento didattico al di fuori delle lezioni di matematica.

Il 22% delle risposte ricevute erano errate

Delle risposte abbiamo dovuto considerare errate circa il 22%. Circa due terzi di loro lo fanno perché si sono limitati a fornire un esempio in cui, ovviamente, X = 2, ma non dicono nulla sul motivo per cui possono escludere altre possibilità. Al contrario, il 18% delle risposte sono corrette, e anche “parzialmente corrette”: forniscono un’argomentazione chiara e solida sul perché X=2, ma non hanno incluso un esempio, quindi non possiamo essere sicuri che X esiste. Come ci racconta José Lorenzo MA, insegnante in pensione, trovare esempi a portata di mano non è stato del tutto immediato.

Ne abbiamo indicati due, ma più persone hanno usato il computer per vedere quante coppie di numeri del lotto ci sono che soddisfano le nostre condizioni: risultano essere 6592 (o 13184 se consideriamo i due possibili ordini per ciascuna coppia). Alcuni ci hanno indicato che, dei 120 modi di ordinare le cifre 12357, 102 (tutti tranne quelli che iniziano con 12, 13 e 15) compaiono nelle somme possibili, e Ignacio LC è andato oltre: ha calcolato la frequenza con il che ciascuna di queste 102 somme è data nelle 6592 soluzioni. Il più frequente è 73521, che compare in 160 casi, mentre sono dieci le somme che compaiono solo 16 volte ciascuna.

Una sfida “anti-ChatGPT”.

Nessuno ha utilizzato l’Intelligenza Artificiale per risolvere la sfida? Ovviamente. Chat GPT non sembra comprendere bene la questione (Samuel M. dice che abbiamo lanciato una sfida “anti-ChatGPT”), sebbene possa essere utilizzato per trovare esempi, come ha fatto José DSA. Ma Alberto B. de la C., che aveva trovato la soluzione sperimentalmente, ha lanciato la sfida teorica a Gemini 2.0 Flash e ha ottenuto una soluzione corretta, ben spiegata (anche se la nostra è più breve) e che sembra umana.

Tre degli autori di soluzioni corrette riceveranno, per gentile concessione della RSME, due copie del libro “Gardner per principianti: Enigmi e giochi matematici”, coordinato dal già citato Fernando Blasco, che fa parte della Mathematical Stimuli Library che la società possiede pubblica in collaborazione con Editorial SM. Si tratta di Fernando G. (per la sua soluzione molto originale sotto forma di poesia), Mari Carmen GA e Pedro GF (che dovrà condividere il libro con suo padre Guillermo, poiché gli hanno inviato una soluzione comune).

Mille grazie a coloro che seguono fedelmente le sfide e sono incoraggiati a inviare soluzioni. I vostri messaggi sono il miglior incoraggiamento a continuare con questo intrattenimento matematico annuale. A nome di EL PAÍS, RSME e a nome mio, vi auguro un buon Natale e un nuovo anno in cui il mondo non ci sarà estraneo.

Di seguito puoi vedere le sfide (e le soluzioni) degli anni precedenti.

Risolvi le sfide matematiche degli altri anni

Guarda la sfida del 2023: quanto sommano tutte le cifre?

Vedi la sfida del 2022: La decima resta o me la cambia?

Guarda la sfida del 2021: una fortuna condivisa

Guarda la sfida del 2020: Un decimo grattato